Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Сред­няя линия LN па­рал­лель­ная сто­ро­не A₁C₁ ос­но­ва­ния, в ко­то­ром она лежит, а зна­чит, па­рал­лель­на сто­ро­не AC дру­го­го ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — тра­пе­ция. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не той сто­ро­ны, ко­то­рой она па­рал­лель­на, а по­то­му равна 6. Сле­до­ва­тель­но, ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 6 и 12. Оста­лось найти вы­со­ту тра­пе­ции.

Про­ведём B₁M₁  — вы­со­ту ос­но­ва­ния A₁B₁C₁. Вы­чис­лим её длину по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пусть K₁  — точка пе­ре­се­че­ния LN и B₁M₁, тогда M₁K₁  =  4. Из точки M₁ про­ведём вы­со­ту MM₁ приз­мы, со­еди­ним точки K₁ и M, по­лу­чим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник MM₁K₁. В нём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Вы­чис­лим ис­ко­мую пло­щадь се­че­ния:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CNC₁ катет NC₁ лежит про­тив угла в 30°, а зна­чит, ги­по­те­ну­за CN в два раза боль­ше этого ка­те­та. То есть равна B₁C₁ в силу того, что MN  — сред­няя линия. За­ме­тим, что от­рез­ки MN, A₁C₁, а зна­чит, и AC па­рал­лель­ны, то есть, се­че­ние  — тра­пе­ция, причём пря­мо­уголь­ная. Тогда пло­щадь се­че­ния, равна

Ответ: 45.

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и AD  =  AB, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник. Пусть d  — диа­го­наль этого пря­мо­уголь­ни­ка, а b  — одна из сто­рон, рав­ная 2r  =  6 см. Найдём вто­рую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна:

Ответ: в.

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник. Пусть d  — диа­го­наль этого пря­мо­уголь­ни­ка, а b  — одна из сто­рон, рав­ная 2r  =  8 см. Найдём вто­рую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна:

Ответ: в.